有限差分法

　　有限差分法
　　微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法。基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來(lái)代替， 這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來(lái)近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來(lái)近似， 積分用積分和來(lái)近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組  ， 解此方程組就可以得到原問(wèn)題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問(wèn)題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。
　　在采用數(shù)值計(jì)算方法求解偏微分方程時(shí)，若將每一處導(dǎo)數(shù)由有限差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求解代數(shù)方程的問(wèn)題，即所謂的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：
　　1、區(qū)域離散化，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格；
　　2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；
　　3、逼近求解。換而言之，這一過(guò)程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來(lái)代替偏微分方程的解的過(guò)程（Leon，Lapidus，George F.Pinder，1985）
　　英文
　　the Finite Difference Method
　　主要內(nèi)容
　　如何根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)將定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分；如何把原微分方程離散化為差分方程組以及如何解此代數(shù)方程組。此外為了保證計(jì)算過(guò)程的可行和計(jì)算結(jié)果的正確，還需從理論上分析差分方程組的性態(tài)，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收斂性和穩(wěn)定性。對(duì)于一個(gè)微分方程建立的各種差分格式，為了有實(shí)用意義，一個(gè)基本要求是它們能夠任意逼近微分方程，這就是相容性要求。另外，一個(gè)差分格式是否有用，最終要看差分方程的精確解能否任意逼近微分方程的解，這就是收斂性的概念。此外，還有一個(gè)重要的概念必須考慮，即差分格式的穩(wěn)定性。因?yàn)椴罘指袷降挠?jì)算過(guò)程是逐層推進(jìn)的，在計(jì)算第n+1層的近似值時(shí)要用到第n層的近似值  ，直到與初始值有關(guān)。前面各層若有舍入誤差，必然影響到后面各層的值，如果誤差的影響越來(lái)越大，以致差分格式的精確解的面貌完全被掩蓋，這種格式是不穩(wěn)定的，相反如果誤差的傳播是可以控制的，就認(rèn)為格式是穩(wěn)定的。只有在這種情形，差分格式在實(shí)際計(jì)算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精確解。關(guān)于差分格式的構(gòu)造一般有以下3種方法。最常用的方法是數(shù)值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫積分插值法，因?yàn)樵趯?shí)際問(wèn)題中得出的微分方程常常反映物理上的某種守恒原理，一般可以通過(guò)積分形式來(lái)表示。此外還可以用待定系數(shù)法構(gòu)造一些精度較高的差分格式。